Garfi el código es completamente hecho por ti o has copiado y pegado como hace mucha gente sin entender lo que pone? Si has copiado explica que no entiendas mi versión corta.
De otra manera sabrías las respuestas a estas preguntas:
¿Como se dibuja un formulario en html?
¿Cómo se envia un email?
Si las sabes puede que no entendieras mi lógica.
En cuyo casi te explico el razonamiento que deberias de seguir:
Nada mas cargar la página debemos comprobar si existen $_POST['nombre'], $_POST['apellidos'],$_POST['DNI'], $_POST['date']... y si están vacías o tienen datos.
Sino existen o está algún campo vacío, creamos el fomulario con sus imputs y su checkbox. Indicando, en el caso de que se haya enviado algún campo vacío el campo que ha dejado vacio.
Si existen y están todas llenas:
Se envía el email.