la forma que lo agregas está mal. DOM no es lo mismo que trabajar con string. cuando obtienes un elemento del DOM, dicho elemento representa un objeto. si intentas concatenarlo a un string lo que sucede es que javascript coerce el objeto a string para poder realizar la operación de concatenar. por eso todos los elementos los ve como [object HTMLLIElement]. tienes que decidir como hacerlo, completamente por métodos DOM o por strings de código html.
si decides por strings, tienes que tomar el código html de ese elemento, concatenarlo a la variable, y luego agregarlo al destino. es decir, para obtener el código lees la propiedad innerHTML o outerHTML. si lo haces por innerHTML, también tienes que concatenarle al inicio y final del string las etiquetas de apertura y cierre LI, ya que innerHTML sólo lee el contenido interno del elemento. con outerHTML no tienes que preocuparte porque este incluye al elemento en si mismo. sin embargo, tengo mis dudas de si la mayoría de los navegadores tienen soporte para este último.
si lo haces completamente por DOM, debes considerar si quieres mover los elementos de su origen al destino. una vez tengas las referencias de los elementos a incluir, pasa cada referencia por el método appendChild del elemento destino. si lo que quieres es copiar el elemento al nuevo destino, entonces primero tienes que clonar el elemento con el método cloneNode desde el elemento que quieres copiar. el método te devuelve un clon y lo agregas al destino de la misma forma anterior, appendChild.
Código:
var destino, origen; // asumiendo que ambas variables contiene la referencia de los elementos;
var lista; // asumiendo que lista es el array de elementos LI;
// para mover del origen al destino;
destino.appendChild(lista[#]); // lo habitual seria ubicar esta linea en un bucle para recorrer el array
// para clonar el elemento y agregarlo al destino;
// desde el bucle que agrega los elementos al array;
lista.push(LI[#].cloneNode(true)); // asumiento que LI[#] es un elemento <LI> en cada iteracion;
// para agregarlo al destinto haces como el ejemplo anterior, recorres el array y pasas cada elemento por appendChild;
// o bien puedes agregar el elemento en un solo bucle al momento de clonar;
destino.appendChild(LI[#].cloneNode(true));