En el primero estas cerrando los recursos antes de tiempo y tanto en el primero como en el segundo estas agregando mal los elementos a la lista.
Ya corregido:
Código:
public List<String> obtenerSucursal(){
List<String> items = new ArrayList<String>();
try {
Statement st = adaptador.createStatement();
ResultSet rs = st.executeQuery("SELECT id, nombre FROM servicio_v2.sucursal");
while (rs.next()){
items.add(rs.getString(2));
}
rs.close();
st.close();
return items;
} catch (SQLException e) {
e.printStackTrace(System.out);
}
return null;
}
PD: Solo corregi lo que pediste pero tiene mas errores, como por ejemplo es recomendable cerrar los recursos en el bloque finally.