Quizas este lo entiendas mejor:
Evalua cada $correo(n) y si no está vacio crea las condiciones de la consulta.
Pero me pregunto porqué quieres evaluar 5 correos por cada integrante?
Código PHP:
<?php
$condiciones = " 1 = 2"
if(!empty(trim($correo1)))
$condiciones .= " OR integrante1 = '".$correo1."' OR integrante2 = '".$correo1."' OR integrante3 = '".$correo1."' OR integrante4 = '".$correo1."' OR integrante5 = '".$correo1."'";
if(!empty(trim($correo2)))
$condiciones .= " OR integrante1 = '".$correo2."' OR integrante2 = '".$correo2."' OR integrante3 = '".$correo2."' OR integrante4 = '".$correo2."' OR integrante5 = '".$correo2."'";
//etc...
$sql = "select * from proyecto where $condiciones";
?>