Pues si no puedes usar nada que no hayas visto, la tienes complicada, aparte:
Cita: La tarea es: Hacer un formulario que guarde NOMBRE, APELLIDO y EDAD en una base de datos (en un txt) mediante un array.
No dice nada de mantener los registros anteriores, por lo que tu script inicial debe de funcionar.
Saludos.