El error que tienes viene de que hay tantos inputs con id='nombreproducto' como productos.
Una solucion es crear un atributo nomprod dentro del mismo <a> y cargarla con el $dato.
Luego, en jquery, buscas dicho atributo en This.
ahí está lo que te digo.
en php:
Código PHP:
echo "<div class='listadoproductos'><a id='borrarlistado' nomprod='$dato'><img src='images/borrar.gif' width='10' height='10' border='0'/></a> ".$dato."<input type='hidden' value='".$dato."' id='nombreproducto'/></div>";
en el script jquery
Código PHP:
data:'producto=' + $(this).attr('dato'),
Saludos!