Hola Naica,
Como puedes ver en el ejemplo que coloqué se buscan ambas palabras, no solo la primera como indicas.
Mi recomendación es que leas bien lo que se indica en la documentación
12.9.2. Boolean Full-Text Searches.
En mi opinión, tendrás que trabajar un poco lo que almacena la variable
$frase para obtener la consulta correcta, en otro caso
$frase ya debería contener los operadores necesarios.