En cuanto a aumentar el número sin recargar la página, es simple, haces una consulta al php con ajax y volcás el resultado al elemento contenedor del número con innerHTML.
En lo que tenés que ser más específico es en
Cita: el usuario ya no puede nuevamente hacer click
Que alcance tiene eso? los usuarios ya están registados? sería solo un voto por sesión?, bloquear la ip?
Cita: Me han dicho que se puede hacer con javascript, pero no soy muy ducho en las artes programatorias
mínimo, php y javascript
saludos