3 selects dependientes

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Te ocurre lo mismo que a mucha gente que no comprende el flujo de datos del navegador y de php.

Primero creas un formulario con un o más select, éste es tu contenido original, luego con ajax llamas contenido html para colocar o sustituir los select 2 y 3, pero estos ya no pertenecen al formulario, son un parche sobrepuesto.

Para lograr lo que quieres deberías crear los 3 slect al inicio (2 y 3 vacíos) y mediante ajax retornar una llamada javascript que modifique las opciones de los select 2 y 3.

Otra opción sería manejar campos ocultos desde que creas el formulario, que al cambiar los select 2 y 3 copien el valor a los ocultos, aunque esta solución es algo chapucera, te puede servir.

Por cierto, la forma que manejo en el aporte que postee, usa la primer forma que te comento.