Depende como crees la conexión, pero basicamente y en configuraciones por defecto MySQL administra las conexiones, por ejemplo si no cambian la configuración (host, usuario, contraseña y db) MySQL siempre verificara primero si ya hay una conexión abierta, si ya existe una retoma el ID de dicha conexión en ves de crear una nueva, (ojo, es una conexión por cliente), ahora, si lo que deseas es tener un solo objeto creado (instanciado) la cosa cambia, para eso es necesario que implementes en tu clase el patrón
Singleton...