Holas, gunsofledz.
Asumiendo que tienes prohibido enviar el ID del proveedor por url como lo haces con las variables "controlador" y "accion", la manera de hacer que el botón funcione sin formulario es usando javascript
: le asignas una función JS al evento onclick del botón, algo como:
Código PHP:
<td><img src="style/close.png" onclick="eliminarProveedor(<?php print $item["id"]; ?>)"/></td>
La función eliminarProveedor() la puedes programar usando Javascript simple o con Ajax, si lo quieres más sofisticado. Hay muchas maneras de enviar los datos sin que se recargue la página actual: creando un mini formulario oculto en tu página, al cual le envíes los datos y fuerces su envío (submit) dentro de un iframe oculto; enviando los datos por URL, sin formulario, al iframe; enviando los datos vía Ajax a un DIV HTML (o cualquier objeto HTML tipo contenedor); capturando con un framework Javascript (ej.: JQuery) el evento onclick de cada botón y realizando las acciones anteriores, pero de manera más elegante; y etc. Investiga al respecto de esto, pues encontrarás mucho material sobre cómo enviar formularios sin ser formularios y cosas así :P
Saludos!