Buenas tardes.
¡Ya he encontrado dónde estaba el problema y la solución!
Lo que ocurre que es que estoy usando un AbsoluteLayout para meter tanto el JTextArea como el JScrollPane y al ser un AbsoluteLayout, hay que hacerlo de otra forma porque si no no funciona.
La solución es la siguiente:
Código:
panel.setLayout(null); // AbsoluteLayout
textArea = new JTextArea();
JScrollPane scrollPane = new JScrollPane(textArea);
scrollPane.setBounds(10, 20, 850, 50);
panel.add(scrollPane);