Ya entendí lo que quieres hacer, quieres que cuando se de click sobre el nombre del medico te lleve a otra pagina con los datos de todos los hospitales donde trabaja el médico cierto?
Puedes hacerlo así como tu dices o creas un campo adicional y pones una imagen que dice "Info", puede ser de ambas formas.
Con php haces un query a la BD y armas la tabla (supongo que sabes hacer una tabla en php y vaciar la informacion de la base de datos)
En el campo nombre del médico o en la imagen "info"(opcional o lo haces como tú quieres agregas esto):
Código PHP:
<td><a href='info_medico.php?id_medico=<?php echo base64_encode($fila['id_medico']);?> '> <?php echo $fila["nombre_medico"]; ?> </a></td>
Básicamente es un hipervínculo que te llevará a otra pagina donde está otra tabla que debe recibir el id del medico para hacer un query a la BD y traerse la info que necesitas.
PD: eso de base64 simplemente es que usé ese hash para que el numero no quede tan expuesto en la barra de herramientas, digamos que es una "manera segura" de enviar por get los datos que vas a capturar en el otro archivo