Hola,
Yo utilizo wampServer y tenia este mismo error
Código:
[Composer\Downloader\TransportException]
The "https://api.github.com/repos/fabpot/Twig/zipball/v1.13.0" file could n
ot be downloaded: failed to open stream: Se produjo un error durante el int
ento de conexi¾n ya que la parte conectada no respondi¾ adecuadamente tras
un periodo de tiempo, o bien se produjo un error en la conexi¾n establecida ya que
el host conectado no ha podido responder.
Esto se debia a que si bien active la libreria
openssl desde wampServer, internamente seguia comentada, es decir, al irme al
php.ini en su carpeta de instalacion de php y buscar esta libreria me aparecia comentada, lo unico que tuve que hacer fue descomentarla, es decir quitarle el
# inicial, reiniciar los servicios y Puffffffffffff! nacio chocapic... o mejor dicho ya funcionaba nuevamente el composer update :D
Saludos