Cita: Tengo la duda de si es de la programación, pues no creo ya que es un plugin de joomla 2.5 de pago, o de la base de datos MySQL o por el contrario de la capacidad del servidor del hosting compatido.
Lo más probable que sea una combinación de ambos.
A nivel de BBDD, pueden ser demasiados registros, consultas muy complejas, o simplemente que los datos obtenidos sean muy grandes y se agote el timeout de transferencia.
Esto último es muy habitual cuando se hacen, por ejemplo, consultas donde se leen todos los campos de todos los registros, especialmente en JOINs mal optimizados.
Por otro lado, mostrar todos los registros en la misma vista, cuando obtienes miles... no es una buena opción. En todo caso deberías paginar los resultados de un modo dinámico, pero no mostrar
todo.
Cita: Si es del hosting, bastaría un alojamiento individual o sería necesario un servidor dedicado?
Siempre un servidor dedicado es mejor opción, pero una mala consulta funcionará mal en cualquier contexto.
Necesitaríamos ver, por lo pronto, cómo es la consulta (sólo SQL, pro favor), antes de saber con certeza si el problema es de BBDD o no.