Es bastante simple. Podés hacer que una vez que tu formulario se envíe, redirija a la página de tu preferencia y con una variable por $_GET que te permita gestionar la aparición de tu popup.
Código PHP:
<?php
// Este es el archivo que procesa tu formulario. Acá vas a recibir toda la información y una vez que termines de hacer todo, redireccionarás adonde haga falta
header( "Location: index.php?envio=ok" ); // Aprovechando la redirección paso una variable que confirme que mi formulario se envio
?>
Y dentro del archivo adonde vaya tu formulario luego de procesarse, en mi caso sería en el arvhivo index.php tenés que hacer lo siguiente:
Código PHP:
<?php
$confirmar = ( isset( $_GET[ 'envio' ] ) ) ? $_GET[ 'envio' ] : false; // Primero que nada obtener el contenido de la variable envio que pasamos previamente al redireccionar
// Por último, si envío es ok, insertaremos un bloque de código javascript que mostrará el alerta solicitada
if( $confirmar == 'ok' ){
?>
<script type="text/javascript">
alert( "Los datos han sido enviados" );
</script>
<?php
}
?>
Vale aclarar que para mostrar un simple alert, no hace falta que cargues toda la librería de jQuery que es muy pesada. Acá está hecho con JS puro sin usar ningún adicional.