Alternar backgrounds

[pzin]

No te hace falta PHP, te basta con hacerlo con CSS usando nth-child():

Código CSS:

.fondo_caja:nth-child(3n+1) {
  background: firebrick;
}
 
.fondo_caja:nth-child(3n+2) {
  background: green;
}
 
.fondo_caja:nth-child(3n+3) {
  background: purple;
}
 

También puedes usar nth-of-type() si el contenedor padre contiene otros elementos que no sean div.fondo_caja.