"pcntl_fork();" hijo no ejecuta desde navegador

[dashtrash]

Todo esto depende de lo que quieras hacer.Si a lo que llamas "tarea de segundo plano" es algo que va a ser lento, y que no quieres parar a la request principal esperando a que termine, no es necesario que hagas fork() de procesos.Debes terminar la request actual, pero indicarle al SAPI que no mate a PHP.
Usando el SAPI fastcgi (fpm), con fastcgi_finish_request() , puedes terminar la request, pero seguir procesando PHP.Creo que con el SAPI usado con Apache también lo puedes hacer, pero ahora mismo no recuerdo cómo.
Hay que tener en cuenta que cualquier error que se produzca tras el fastcgi_finish_request(), no podrás notificarlo via html (la salida html ya se ha enviado).