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Iniciado por Qazser 
Como lo estas estudiando y lo tienes como actividad, me imagino que con explicarte el procedimiento "como lo haria yo" seria suficiente. Ya si necesitas especificaciones técnicas me las pides. Vamos a hablar únicamente del cliente web.
Otra cosa, hay 2 tipos diferentes de chat, estan los chats tipo IRC (todos juntos) o chats por canales (en un mismo cliente, diferentes chat 1a1) es una diferencia de concepto bastante amplia.
La Teoria:
-Creas un html con la interfaz del chat, las etiquetas html las debes definir adecuadamente con clases e id's, AUNQUE NO VAYAS USAR CSS. Documenta con id's las principales etiquetas, tenga una referencia única en el DOM
-Creas un controlador php que hace una consulta a la base de datos, y devuelva el resultado en formato JSON
-Ahora la pieza que lo completa, Jquery. Inserta en el html de antes el link para la libreria Jquery, create un archivo js aparte e incluye la referencia en el html.
En ese archivo JS haces una petición AJAX short-polling a la ruta del controlador php creado. Short polling significa que cada 2-3 segundos pregunta al servidor si hay datos nuevos. El servidor va responder con false o un json con los datos nuevos. Javascript trata un json que recibe como un objeto, entonces con la habilidad de jquery manipulas todo el DOM del html actualizandolo con los resultados del servidor.
Esa seria la lógica, cualquier cosa pregunta.
Un saludo
EDIT: Para enviar mensajes necesitarias una funcion jquery y un controlador aparte. Arriba solo defini la recepción de datos nuevos
Qazser gracias por tu pronta respuesta. Mi objetivo es que cuando un usuairo va ingresar al chat éste se loguee e ingresa a la sala. Una ves que ingrese en la sala se muestra un sección donde están los usuarios que están conectados y una conversación general de todos los usuarios. El usuario decide si quedarse en el chat general o dar doble click sobre el usuario con el que decida generar conversación privada.
Te entendi perfectamente como iniciar el cliente Web (gracias ), ¿podrias orientarme acerca de como debe trabajar PHP del lado del servidor? Te agradezco.