Hola:
Si usas un botón submit para peticiones Ajax, debes también cancelar el envío, y eso no se ve...
Otra cosa... el tag form no lleva el atributo value, así que al menos para tu caso creo que en vez de this.value como parámetro, debería ser: str.value.
Una última cosilla... el segundo parámetro de la petición, debería ser la url donde se procesará la petición...
Revisa esas cosillas, y cuéntanos tus progresos...
Edito: Para el método get creo que deberías paras los parámetros por url...
Saludos
