Problema con Update de Registro

[galaktico]

Yo lo planteé así:

1) Utilizo un buscador para buscar el producto a modificar.
2) En la página resultado listo los resultados y de ahí voy al archivo modifca.php pasando el ID por GET de la siguiente manera:

Código PHP:

<a href="modifica.php?id_producto=<?php echo $fila['id_producto']; ?>">Modifica</a>
 

Lo que necesito es hacer un Update en la base trayendo el ID de otro archivo.

De ahí es de donde viene el valor de $id, por eso lo rescato así:

Código PHP:

$id = $_GET['id_producto'];
 

Y luego intento realizar todo en el mismo archivo:

Código PHP:

<?php 
include("conexion.php");
$id = $_GET['id_producto'];
 
if(isset($_POST["enviar"])){
  $consulta = "UPDATE productos SET nombre='$nombre' WHERE id_producto=$id";
  $resultado = mysql_query($consulta, $conexion) or die(mysql_error());
  echo "Los datos fueron actualizados con éxito!.\n"; 
} else {
  $consulta = "SELECT * FROM productos WHERE id_producto=$id";
  $resultado = mysql_query($consulta, $conexion) or die(mysql_error());
  $fila=mysql_fetch_array ($resultado);
?>
<form action="<?=$_SERVER['PHP_SELF']?>" method="post">
  <input name="nombre" type="text" value="<?php echo $fila["nombre"]; ?>">
  <input type="submit" value="Guardar Cambios" name="enviar">
</form>
<?php 
}    
?>
 

Lo estoy planteando mal?