tecla enter en JTextField

[Kritik]

Como veis, mi frame es muy sencillo, únicamente tiene un JTexField y un JTextArea.

Código:

package EntradaSalida;

import java.awt.BorderLayout;
import java.awt.Toolkit;
import java.awt.Color;
import java.awt.event.KeyEvent;
import java.awt.event.KeyListener;

import javax.swing.JFrame;
import javax.swing.JPanel;
import javax.swing.border.EmptyBorder;
import javax.swing.JTextField;
import javax.swing.JTextArea;
import javax.swing.border.LineBorder;

public class textoLogs extends JFrame implements KeyListener{

	private static final long serialVersionUID = 1L;
	private JPanel contentPane;
	private JTextField txtFIntro= new JTextField();
	public JTextArea txtALog = new JTextArea();

	public textoLogs() {
		
//		System.out.println("Estoy construido");
		
		setTitle("Logs");
		setIconImage(Toolkit.getDefaultToolkit().getImage("/Resources/hal9000.ico"));
		setBounds(50, 50, 400, 300);
		contentPane = new JPanel();
		contentPane.setBorder(new EmptyBorder(5, 5, 5, 5));
		contentPane.setLayout(new BorderLayout(0, 0));
		setContentPane(contentPane);
		
		txtFIntro.setBorder(new LineBorder(new Color(0, 0, 0)));
		contentPane.add(txtFIntro, BorderLayout.SOUTH);
		txtFIntro.setColumns(10);
		txtFIntro.addKeyListener(this);
		
		txtALog.setBorder(new LineBorder(new Color(0, 0, 0)));
		txtALog.setBackground(new Color(225, 225, 225));
		txtALog.setEditable(false);
		contentPane.add(txtALog, BorderLayout.CENTER);
		
		setVisible(true);
	}
	public void keyPressed(KeyEvent arg0) {}
	public void keyReleased(KeyEvent arg0) {}
	public void keyTyped(KeyEvent arg0) {
		if (arg0.getKeyCode() == KeyEvent.VK_ENTER)System.out.println("He presionado enter");
	}
}

He implementado un keyListener al JTextField y lo que quiero es que cuando pulse la tecla enter en el JTextField el texto se ponga en el JTextArea. Algo así como si fuese una ventana de chat que tú escribes y se queda ahí guardado. Sin embargo, no se como conseguir esto. Alguna idea?