¿Por qué no empiezas por verificar cómo queda la sentencia una vez construida con un simple "echo"?
   
Código PHP:
Ver original<?php
/* CONECTAR CON BASE DE DATOS **************** */  
/* ********************************************** */
/* CONECTA CON LA BASE DE DATOS  **************** */
/* ********************************************** */
//REALIZAR CONSULTA
$sql = "INSERT INTO usuarios(nombre, nick, apellidos, email, contrasena) 
            VALUES  
            (
            '".$_POST['nombre']."',
            '".$_POST['nick']."',
            '".$_POST['apellidos']."',
            '".$_POST['email']."'
            '".$_POST['contrasena']."'
            )";
 
// --------------------------------
// VERIFICA LO QUE QUEDO ARMADO
// --------------------------------
    echo $sql;
// --------------------------------
 
                if (!$result){
                               echo "La consulta SQL contiene errores.".mysql_error();                 }else {echo "<center><font color='RED'>DATOS INSERTADOS CORRECTAMENTE</font><a
ref=/paginas/prueba/index.html>Volver</a>'";
                }
?>
  
Copia lo que te muestre y postealo acá así podemos verlo y entender qué te pasa... 
Nota: Quite lo que considero innecesario en el INSERT.