una o varias conexiones para varios formularios

[agleiva]

Lo mejor en realidad es separar completamente toda la logica de acceso a datos de la capa de presentacion, e incluso separar la logica de negocios de la capa de presentacion.

Sin importar si tenes 1 "formulario" (asumo que te refieres a una ventana?) o varias, todo el codigo de acceso a datos deberia estar separado de la UI, incluso en un proyecto aparte que NO tenga referencias a assemblies de presentación tales como System.Windows.Forms.dll o PresentationFramework.dll. De esta manear garantizas la "separation of concerns" ya que tratar de referenciar alguna clase de UI desde el codigo de acceso a datos o de logica de negocio va a resultar en un error de compilacion.

Por otra parte, como hablas de "conexiones" me suena a que estas usando ADO.Net y poniendo el SQL en strings como se hacía en los '90. Te sugiero que investigues Entity Framework o algun otro ORM, ya que los mismos manejan de manera automática el connection pooling para que no tengas que preocuparte de estos temas, sin mencionar que te permiten trabajar con un modelo de objetos fuertemente tipado, al contrario de la forma antigua que usaba DataTables, etc que son basicamente diccionarios y funcionan sobre la base de "stringly typed".