pues que prenda y no salga imagen puede ser algo tan básico como una pila / batería que no hace buen contacto (experiencia propia), como el otro extremo que seria una placa dañada, pasando por la fuente de poder, la tarjeta de vídeo, cable del monitor, procesador, otros
hace algún ruido al prender, algún pitido o nada? es tarjeta de vídeo integrada o dedicada? es un equipo relativamente nuevo, con algunos años o definitivamente antiguo?
lo básico, probar ese monitor con otro equipo y ese equipo con otro monitor, si el problema es el equipo, podrías retirar la pila y fijarte que el contacto este limpio (sin oxido), en caso no lo este usando una lija fina limpiar suavemente, volver a colocar la pila, si no hay cambios, tocaría descartar la fuente, etc...
que no se apague, pues el botón puede estar mal, cuanto tiempo mantienes presionado el botón?