error al guardar en base de datos

[ZoroRoronoa]

Para empesar hay 2 instancias de array que no le colocas un index.

echo '<input name="nombre[]" type="checkbox" id="nombre[]" value="'.$row[1].'" checked />'.$row[0]."<br>" ;

La importante es la primera, la del "name".
Como sabes cual es el valor de name? Porque veo que tratas de llamar la variable POST con el nombre de "nombre".

Punto numero 1.
Antes del if coloca un
echo $_POST["name"];

Para ver si te extrae el valor, si no te lo extrae y te da error que la variable no existe, es porque el input que imprimes, no contiene el valor name en tu atributo name=""

Deberias verificar eso, o en su defecto, publica tu codigo en un jsfiddle para poder veerlo acá.
aunque tus errores son basicos.