error al guardar en base de datos

[ZoroRoronoa]

Oye, ando dormido.

$row[0] $row[1]?
Eso está mal.

$result = mysqli_query("SELECT nombre FROM alumno WHERE id_curso='$curso'");
Debe de ser el nombre de tu campo de la tabla es decir $row['nombre']

y sobre el name y el id, debes agregarle un nombre diferente a cada uno, algo asi

Código PHP:

$aux = 0;
while ($row = mysqli_fetch_array($result)) {
     
echo "</tr>";
echo '<input  name="nombre_'.$aux.'" type="checkbox" id="nombre_'.$aux.'" value="'.$row["nombre"].'" checked />'.$row["nombre"].'"<br>"';   
 
$aux++;
}
 

En el HTML esto de imprimira algo asi:

Código PHP:

<input  name="nombre_0" type="checkbox" id="nombre_0" value="Juan" checked /> Juan <br>
<input  name="nombre_1" type="checkbox" id="nombre_1" value="Carlos" checked /> Carlos <br>
<input  name="nombre_2" type="checkbox" id="nombre_2" value="John" checked /> John <br>
 

y con el PHP los extraes asi

$_POST['nombre_0']
$_POST['nombre_1']
$_POST['nombre_2']
etc...

PD: ya me voy a dormir, saludos. Espero te sirva.