Cita: Mi pregunta es cómo hacer como validar que al encontrar estos tres campos (fecha, hora_ini, hora_fin) llenos o con datos, me genere un nuevo registro?
Tu pregunta no es clara, asi que te respondere hasta donde entendi. Primero, deberias poner las tablas para comprender mejor, ya que es una pregunta mas de bases de datos.
Cita: El problema empieza cuando voy a generar el ingreso de la misma persona (ya que el sistema debe de permitir el ingreso y salida de una persona n cantidad de veces al día), pero lo que hace es que actualiza el mismo registro (En la tabla “Registros”, no tiene llave primaria para que permita duplicados).
Primero, no deberias sobreescrbir el registro, ese no es el principio de una base de datos. Para crear un nuevo registro simplemente lo insertas, la base de datos no es el modelo de objetos donde actualizas la informacion de estos, en ella si hay un nuevo ingreso, simplemente creas un nuevo registro, no hay necesidad de duplicar ni sobreescribir nada.
Sobre como generar un nuevo registro, simplemente es un insert a la tabla registro, en tu modelo debes tener la referencia del usuario (el DNI) con este ya creas la relacion, el que no tengas llave primaria en la tabla registro no afecta, pero tampoco beneficia, es mejor tenerla por referencia en ese caso podria ser (DNI_cliente, fecha, hora_ini) estos 3 como llave.
Por otro lado si usas los conceptos de POO te seria mas facil, y haces mas facil entender el codigo.
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Edito aqui, antes no cargo la imagen, primero que todo deberias normalizar tu modelo de base de datos, separar registros de la tabla cliente.