Muchísimas gracias por tan detallada explicación, hice muchas modificaciones y aplique todo lo que me comentaste.
No sabia lo del F12 aunque no me mostró nada cuando busque eso.  
Archivo index.php   
Código HTML:
Ver original- <!doctype html> 
-     <meta http-equiv="Content-Type" content="text/html; charset=utf-8"> 
-     <link rel="stylesheet" type="text/css" href="style.css">  
-     <meta name="viewport" content="width=device-width, user-scalable=no, initial-scale=1.0, maximum-scale=1.0, minimum-scale=1.0"> 
-     <script src="//code.jquery.com/jquery-1.11.3.min.js"></script> 
-      
-     <div class="ingreso" id="rewesultado"> 
-          
-             <input id="nick" name="nick" type="text" autofocus  placeholder="Usuario" required title="Introduzca un monto"> 
-             <div id="escriba_nick">- Por favor escriba su Nick </div>
 
-             <input id="clave" name="clave" type="password" placeholder="Contraseña" required> 
-             <div id="escriba_pass">- Por favor escriba su contraseña </div>
 
-             <div id="error_ingreso">- Usuario o Contraseña Incorrectos </div>
 
-             <input type="button" onclick="validar()" value="Ingresar" id="bt_ingresar"> 
-          
-   
Archivo index.js   
Código Javascript
:
Ver original- function validar(){ 
-         event.preventDefault(); 
-         if ($('#nick').val()=="") 
-             { 
-                 $("#escriba_nick").slideDown("slow").delay( 1800 ); 
-                 $("#escriba_nick").slideUp("slow"); 
-                 $("#nick").focus(); 
-             } 
-             else 
-             { 
-             if ($('#clave').val()=="") 
-                 { 
-                     $("#escriba_pass").slideDown("slow").delay( 1800 ); 
-                     $("#escriba_pass").slideUp("slow"); 
-                     $("#clave").focus(); 
-                 } 
-                 else 
-                 { 
-                     mandar(); 
-                 } 
-             } 
-         } 
-   
- function mandar(){ 
-         event.preventDefault(); 
-         var nick       = $('#nick').val(); 
-         var clave      = $('#clave').val(); 
-         var divResultado = document.getElementById('#mierda'); 
-         
-          $.ajax({ 
-            url      :   "index_chequeo.php", 
-            type     :   "POST", 
-            data     :{nick:nick,clave:clave,puede_entrar:1}, 
-            success  : function(resp) 
-                                         { 
-                                             if (resp=='true') 
-                                             { 
-                                                 window.location="home.php"; 
-                                             } 
-                                             else 
-                                             { 
-                                                 $('#nick').val(""); 
-                                                 $('#clave').val(""); 
-                                                 $("#error_ingreso").slideDown("slow").delay( 3000 );   
-                                                 $("#error_ingreso").slideUp("slow"); 
-                                                 $("#bt_ingresar").val("Ingresar"); 
-                                             } 
-                                         } 
-             
-        }); 
- } 
Archivo index_chequeo.php   
Código PHP:
Ver original- <?php 
- if(isset($_POST[- puede_entrar ])){
 
- include('Barra/conexion.php'); 
-   
- // Usuario y Contraseña enviados 
- $nick=$_POST['nick']; 
- $clave=$_POST['clave']; 
-      
- // To protect MySQL injection (more detail about MySQL injection) 
-   
- $sql="SELECT * FROM usuarios WHERE nick='$nick' and clave='$clave'"; 
-   
- // Cuenta los resultados de arriba 
-   
- ///////Busca los permisos que tiene el usuario 
-   
-   
- // If result matched $myusername and $mypassword, table row must be 1 row 
- if($count==1) 
- { 
- $_SESSION['logeado']="sip"; 
- $_SESSION['nick']=$nick; 
-   
- //Register $myusername, $mypassword and redirect to file "login_success.php" 
-   
- echo 'true'; 
-   
- } 
- else 
- { 
- echo 'false'; 
- } 
- } 
- ?> 
De todas formas sigo con el mismo error :(
En los lugares dentro de Ajax que hay "," , si las cambio por ";" me da error.  
Tambien vi con F12 puedo ver las variables que envió a través de java, esto no es peligroso? Es decir saben que hay un php que espera la variable tiene_permiso=1 para poder ingresar. 
Muchas gracias nuevamente.