Lo de las comas y puntos y comas lo decía por la parte en el archivo PHP en donde imprimes los valores 1 y 0, por eso fue que al inicio del cuarto párrafo dije: "Ahora, con respecto a tu código JavaScript...".
 
Sigues sin colocar las comillas al índice 
puede_entrar de 
$_POST. 
De preferencia, utiliza un formulario que contenga a los elementos que muestras y un 
<input type = "submit" /> para enviar a procesar los valores del formulario y en el código JavaScript, haces esto:    
Código Javascript
:
Ver original- $("#id del formulario").on("submit", function(event){ 
-     event.preventDefault(); 
-     //Acá irían los códigos de las funciones 'validar' y 'mandar', por lo que ya no las necesitarías 
- }); 
Si después de hacer estos cambios sigues con el problema, prueba sin Ajax, para así determinar si el problema está al implementar Ajax o en otra parte. 
Saludos