YA ME DIO LA SOLUCIÓN: No fue necesario el FOR sino solo con el WHILE y poner el FORM dentro del WHILE.
ESTE ES EL CÓDIGO:
<!doctype html>
<html>
<head>
<meta charset="utf-8">
<title>Documento sin título</title>
</head>
<body>
<p class="mio">VER REGISTRO DE GASTOS DE LOS FRAILES ESTUDIANTES
<form action="" method="post">
<span class="mio">
<input type="submit" value="Ver registro de gastos de todos los frailes" name="ver_lista_gastos" >
</span>
</form>
<table style="width: 100%">
<?php
$conexion=mysqli_connect("localhost","root","","si ndicatura") or die("Problemas con la conexión");
$consulta=mysqli_query($conexion,"SELECT `id_item`, `item_pedido`, `fecha_peticion`, `costo`, `estado_aprobacion`, `nombre_quien_aprueba`, `fecha_aprobacion` FROM `registros`;") or
die("Problemas en el select:".mysqli_error($conexion));
echo "<table width='847' border='1' cellspacing='2' cellpadding='3'> \n
<tr>
<th width='85' bgcolor='#999999' scope='col'>ID ITEM</th>
<th width='195' bgcolor='#999999' scope='col'>SOLICITUD</th>
<th width='87' bgcolor='#999999' scope='col'>FECHA DE SOLICITUD</th>
<th width='72' bgcolor='#999999' scope='col'>COSTO</th>
<th width='111' bgcolor='#999999' scope='col'>ESTADO DE LA SOLICITUD</th>
<th width='115' bgcolor='#999999' scope='col'>NOMBRE DE QUIEN APRUEBA</th>
<th width='107' bgcolor='#999999' scope='col'>FECHA DE APROBACION</th>
</tr>
";
?>
<?php
while($registro = mysqli_fetch_array($consulta))
{
?><form action="" method="post">
<td><input type="text" value="<?php echo $registro['id_item']?>" name="id_item"></td>
<td><input type="text" value="<?php echo $registro['item_pedido']?>" name="nombres[]"></td>
<td><input type="text" value="<?php echo $registro['fecha_peticion']?>" name="departamento[]" class="letrapequeña" ></td>
<td><input type="text" value="<?php echo $registro['costo']?>" name="idempleado[]"></td>
<td><input type="text" value="<?php echo $registro['estado_aprobacion']?>" name="nombres[]"></td>
<td><input type="text" value="<?php echo $registro['nombre_quien_aprueba']?>" name="departamento[]" class="letrapequeña" ></td>
<td><input type="text" value="<?php echo $registro['fecha_aprobacion']?>" name="idempleado[]"></td>
<td>
<input type="submit" value="APROBAR gastos" name="aprobar" ></form> </td>
</tr>
<?php
}
if(isset($_POST['aprobar'])){
$id_item2=$registro['id_item'];
mysqli_query($conexion,"UPDATE `sindicatura`.`registros` SET `estado_aprobacion` = 'APROBADO' WHERE `registros`.`id_item` = '$_POST[id_item]';");
}
?>
</table>
</body>
</html>
Gracias a las personas del foro que se interesaron por ayudarme.