Pues no veo "el error" que mencionas, es decir, el código php funciona porque los print_r() te muestran datos en ambos casos que expones.
Además dices que las peticiones sí se hacen a través de Ajax según las imágenes que muestras.
¿Cual era el problema entonces?
Volviendo a esto que dices:
Cita: La cuestión es que cuando envío los datos por AJAX (jQuery), cuando uno de los campos está vacío, al hacer click en el botón de "submit" simplemente no hace nada.
¿Entonces tienes problemas con tu código PHP o no lo sabes?
Porque me da la impresión de que tu problema es otro, tal vez Javascript, no lo sé.
Inclusive me sorprende que no hagas un console.log(echo) al recibir los datos en tu función de jQuery.
¿Notaste que tu comparación "hace algo" sólo si un campo no está vacío?
Creo que tu problema está ahí, revisa bien lo que haces.