Resuelto, el primer fallo eran los espacios que dejaba entre los signos de igual "=" y lo segundo es que cuando usamos como valores atributos de una clase o de un array, tienen que ir entre llaves:
Código PHP:
$this->conexion = new PDO("mysql:host={$this->host};dbname={$this->bbdd}", $this->usuario, $this->pass);
Y ya funciona.