Puedes sumar las fechas con strtotime() para simplificar el proceso:
Código PHP:
$fecha = date('16/9/2015');
$nuevafecha = strtotime ( '+20 day' , strtotime ( $fecha ) ) ;
O con date_add():
Código PHP:
$fecha = date_create('16/9/2015');
date_add($fecha, date_interval_create_from_date_string('20 days'));
Para la resta final puedes utilizar date_sub():
Código PHP:
date_sub($fecha, date_interval_create_from_date_string( $hoy ));