La solución de sustentio la he probado y funciona correctamente. Lo único que cuando he recibido los datos enviados del formulario una vez que he generado el archivo hago una redirección.
Código:
header('Location: descarga_firma.php');
En el archivo nuevo es dónde especifico el archivo para descargar. Con ello además me ha solucionado un problema adicional que era que los navegadores de Microsoft guardaban el archivo como .htm en vez de .html
Código:
// Especifico que sea un tipo de archivo html
header('Content-type: application/html');
// Le asignamos el nombre firma.html
header('Content-Disposition: attachment; filename="firma.html"');
// Leo la fuente de la firma para que la pueda descargar el usuario.
readfile('firma.html');
Muchas gracias a sustentio de nuevo.