También puedes usar campos ocultos en tu formulario. Siguiendo tu ejemplo:
Código PHP:
Ver original<?php
if(isset($_POST["enviar"])){ $nombre = $_POST["nombre"];
$apellidos = $_POST["apellidos"];
}
?>
<form action="estaPagina.php" method="post">
<input type="hidden" name="nombreanterior" value="<?= $_POST['nombre']; ?>">
<input type="text" name="nombre">
<input type="text" name="apellidos">
<input type="submit" name="enviar">
</form>
Modifica así y checa si se adapta a tus necesidades.