En el fichero
chess-clock.js, concretamente en la línea 41 está declarado el evento
mousedown, lo que pasa es que (la mayoría de) los dispositivos táctiles no registran este evento. Para cuando el usuario toca la pantalla táctil estos tienen un evento especial el
touchstart.
Si yo fuese tendria declarados los dos eventos, uno para el ordenador con
mousedown y el otro para dispositivos tactiles con
touchstart