Buenas, suponiendo que los valores que obtienes, los insertas en un array de la forma:
Código PHP:
$array = [
"04:00 am" => "CBS Morning News",
"04:30 am" => "CBS 2 News This Morning",
"10:14 am" => "CBS This Morning",
"10:17 am" => "Hot Bench",
"10:19 am" => "Hot Bench"
];
El siguiente código haría lo que necesitas:
Código PHP:
$copiar = 0;
$fecha_actual = date("h:i a");
$array_final = [];
foreach($array as $date => $value){
if($date >= $fecha_actual) $copiar = 1;
if($copiar == 1) $array_final[$date] = $value;
}
echo "<pre>",print_r($array_final),"</pre>";
Un saludo