Yo te recomiendo que primero pases a variables los request, para luego hacer el estatuto, ya que en el request te falto poner el dato entre comillas
Código PHP:
$narea=$_REQUEST["narea"];
$carea=$_REQUEST["carea"];
mysqli_query($conexion,"insert into areas(narea,carea) values
('$narea','$carea')")
or die("Problemas en el select".mysqli_error($conexion));