Cita: public void AddText(String Text, int X, int Y){ // Este metodo tira Exception al ser llamado con la instancia de la clase "Elements".
this.Graphs.drawString(Text, X, Y);
}
Tal y como lo has definido este método requiere que hayas ejecutado el método paintComponent, ya que por defecto this.Graphs está inicializado a null. Creo que el error te viene por ahí.
Tendrías que hacer un método para pasarle tú el Graphics correspondiente e inicializarlo en la clase o añadirlo a tu método AddText .
Con respecto al otro problema, no veo donde estás llamando al método paintComponent por ninguna parte. Si el hola mundo se muestra ahí, habría que llamarlo en la ejecución porque el hecho de instanciar la clase no garantiza la ejecución de todos sus métodos salvo que así lo definas en el constructor.
Mira también si tienes que realizar algún repaint() a mayores cuando efectúes cambios.
Revisa las convenciones de notación para java por favor, no da error pero chirría bastante.