He intentado algo de este estilo, pero claro, no hace lo que quiero porque siempre devolverá el valor seleccionado en el último select (pero quizá da una idea de qué quiero obtener):
Código HTML:
<style>
.sinarrow {
-webkit-appearance: none;
-moz-appearance: none;
appearance: none;
border: 0;
}
</style>
<div>
<select multiple size="1" name="select" class="sinarrow">
<option>1</option>
</select>
</div>
<div>
<select multiple size="1" name="select" class="sinarrow">
<option>2</option>
</select>
</div>
<div>
<select multiple size="1" name="select" class="sinarrow">
<option>3</option>
</select>
</div>
<div>
<select name="select">
<option>4</option>
<option>5</option>
<option>6</option>
</select>
</div>