Con un servidor dedicado tienes la enorme ventaja que mencionas: puedes "dedicar" la máquina a un solo usuario (un solo sitio web), pero también tienes la enorme responsabilidad de administrarlo... aunque como bien dice pereztroff, lo mejor en tu caso sería contratar un servidor completamente "manejado" (managed), y dependiendo de lo que estés dispuesto a pagar, puedes contratar un nivel de administración que te permita dormir tranquilo y prácticamente desentenderte del manejo operativo del servidor, para concentrarte únicamente en la prestación del servicio como si tuvieras una cuenta de "hosting normal", como tú dices
Saludos,
Eboy
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