Tienes que construir la sentencia sql concatenando la variable en la que el usuario almacena la letra_inicial.
Código PHP:
letra_inicial = request("letra")
sql = "select * from tabla where nombre like '" & letra_inicial & "*'"
Esta consulta se interpreta como:
select * from tabla where nombre like 'a*'
a* hace referencia a los nombres que empiezan por la letra 'a', sin embargo este caracter * depende de la base de datos que utilices, en Acces es con * y en Oracle por ejemplo es con %
Un saludo
Txarly