Directamente no se puede, ya que la variable como tú bien has dicho se creó en el servidor y al cliente no le llega nada de código ASP porque ya ha sido procesado y transformado en HTML si es el caso.
Con un lenguaje de Script que actúe en el cliente no puedes tocar el código del servidor.
Indirectamente, lo que puedes hacer es reenviar una petición al servidor y pasarle mediante un formulario o en la cadena de la URL el valor que quieres que tenga esa variable.
Más o menos:
Código:
<a href="pagina.asp?idioma=esp">Español</a>
<a href="pagina.asp?idioma=eng">English</a>
Y luego en la página ASP, que puede ser la misma pagina.asp:
Código:
<%
idioma = Request.Querystring("idioma")
%>
La variable "idioma" ya tendrá el valor "esp" o "eng" según el caso y harás lo que sea pertienente con ella.
Para recogerlo desde un formulario tendrías que usar Request.Form.
Espero haberte orientado.
Un saludo.