Vale, solucionado. El problema era que el motor de Microsoft Jet 4.0 tiene palabras reservadas que cuando se usan, simplemente no deja.
Aquí teneis una url con la lista de palabras reservadas:
http://support.microsoft.com/?id=248738
En este caso la palabra reservada era password y simplemente para que funcionara la instrucción le añadí los [] (corchetes).
Código PHP:
SQL="Update login_admin set nombre='"&nombre&"',[password]='"&pass&"' where id='"&id&"'
Gracias a todos por intentar ayudarme.