Al parecer es sólo un error de comillas
Código PHP:
<?
//Conexion con la base
mysql_connect("localhost","root","root");
//Creamos la sentencia SQL y la ejecutamos
$sSQL="Update password Set nombre='".$_POST['nombre']."', apellidos='".$_POST['apellidos']."' ,
password='".$_POST['password']."', email='".$_POST['email']."', general='".$_POST['general']."',
administracion='".$_POST['administracion']."', gestionadrec='".$_POST['gestionadrec']."',
gestionabastecimiento='".$_POST['gestionabastecimiento']."' , gestioningenieria='".$_POST['gestioningenieria']."',
gestionssgg='".$_POST['gestionssgg']."',
presupuestogerencia='".$_POST['presupuestogerencia']."' Where rut='".$_POST['rut']."';
mysql_db_query("gestion",$sSQL);
?>
He cambiado los $HTTP_POST_VARS por $_POST... si tienes una versión de PHP menor que la 4.1, sigue utilizándolo como antes... o mejor actualiza tu PHP ;)
Saludos