Los "formularios" no hacen nada de por sí .. es decir, un formulario HTML sólo envia sus datos a cierto script ("CGI" o página) .. en este caso a un script PHP de proceso.
TU script PHP de proceso .. con esos datos "recibidos" hará lo que tu quieras (programes) .. por ejemplo -generar- un e-mail .. pero, podría almacenar los datos en el servidor .. ya sea en una base de datos, o en un archivo de texto plano para que tu los veas sobre tu servidor en algún "panel" de control que diseñes para leer ese archivo/BD.
Así que tu veras que necesitas ..
Si necesitas enviar un e-mail desde PHP sin usar la función mail() puedes usar classes que envien el e-mail por cualquier otro servidor SMTP diferente al que use en el servidor; por ejemplo:
PHP Mailer
http://phpmailer.sourceforge.net
Pero, tendrás que saber tu que servidor SMTP puedes usar (por ejemplo el de tu ISP o cuenta de e-mail SMTP que uses ..). Si usas la classe que te indico, puedes incluso usar autentificación si la requires (que será lo normal si usas cuentas SMTP de cualquier ISP hoy por hoy).
Un saludo,