Bueno, pues solucionado. Voy a postear la solución por si a alguien le sirve de algo.
No entendía por qué a pesar de haber incluido una fecha para que expirase la cookie en el código inicial, aún seguía sin conseguir comunicarme con ella. Y es muy simple, tenía que decirle dónde está la cookie.
Así que después de incluír bajo la línea
if accion = "escribir" then lo siguiente...
Código:
Response.Cookies("conexion").expires=Date+1
Response.Cookies("conexion").Domain="www.el_sitio_en_cuestión.com"
Response.Cookies("conexion").Path="/sitienes_una_ruta_concreta/directorio_de_la_cookie"
...todo funciona al 100%.
Saludos.
