Hola
Moras.
Creo que puedes empezar por preguntarle a tu actual proveedor cómo puedes hacer una copia de respaldo (backup) de tu base de datos.
Es posible que si estás usando MySQL, tengas a tu disposición la herramienta phpMyAdmin. Si es así, con unas sencillas instrucciones podrás realizar la copia de respaldo.
Haz el intento y nos cuentas.
Saludos,