Por que si mysql_num_rows es igual a 0, la línea $i=mysql_fetch_array($run); da que $i es igual a false, no a un array al que se pueda acceder.
Si quieres saber su valor global más alto de peticiones y añadirle 1 tienes que hacer lo que te decía en la consulta de mi anterior ejemplo utilizando MAX(peticiones). Pero si el campo no es global, sinó que hace referencia cada fila la sentencia insert quedaría así:
Código PHP:
$insert="insert into busquedas (texto,peticiones) values ('$busqueda',1)";
Aparte veo que hay otro problema en el update, ya que haces referencia a un $busqueda["id"] que no veo que esté definido antes como array, sino como una cadena en la primera consulta select. Quizás por algún cambio que hiciste de implementación. Creo que quedaría así:
Código PHP:
$update="update busquedas set peticiones=".($i["peticiones"]+1)." where id=".$i["id"];